sin90度为什么等于1图解(sin90度为什么等于1图解)-人生感悟
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sin90度为什么等于1图解(sin90度为什么等于1图解)

探索宇宙奥秘是一个永恒的话题,由此产生的天文学更是一门深奥难懂的学科,所以我们常常用“上知天文,下知地理”来表达一个人的博学。

天文望远镜

涉及天文必不可少的是对海量观测数据的处理与计算,以及对三角形、球体、圆等几何元素性质的研究。

“勾股定理”

是人们发现的最早一个关于

直角三角形

的性质。

如图,在Rt△ABC中,已知其中两边a,b,可以求得第三边。但是如果在Rt△ABC中,已知一个角及一条边c,如何计算边a及b的值呢?

对于古人来说,这不是一个简单的问题,但是基于航海等实际需要,他们必须克服困难。公元前2世纪,古希腊著名数学家喜帕恰斯迈出了最重要的一步。

Hipparchus

Hipparchus是公元前2世纪古希腊著名的天文学家,关于他的生平我们知之甚少,学术成就也主要都来自Ptolemy的记录。Hipparchus首先使用“纬度和经度”来确定地球上地点的位置,倡导古巴比伦人的将圆分成360°的划分法,并且曾编过850个恒星的目录,但这些都不足他下面的这个成就引人注目。

为了解决,Hipparchus将Rt△ABC放到圆中来研究。如

图一

,易知

弧BC

所对圆心角∠COB是圆周角∠A的两倍,记为∠COB=2∠A=2α。

Hipparchus使用60进制,并取直径|AB|=120,周角为360°,结合几何的方法将弦长|BC|表示为2α°弧BC的函数,并制作成“弦表”。

可惜此原表早已遗失,我们只能从托勒密Ptolemy的《天文学大成》一书中了解改进以后的“弦表”及其推导过程。详情见附录.

图一

《天文学大成》第二卷载有现存最古老的“弦值表”。如下图,表格左边三列为希腊文,右边三列为译文。Arcs指有一定角度的弧长、chords指对应的弦长,从“弦表”知,Arcs=4°时,chords=4;11.16≈4.187778. 即,4°弧长所对应的弦长值约为4.187778,我们用符号ch( 4°)≈4.187778表示。

【注】

:4;11.16为60进制计数法,转换为10进制,4;11.16=4+11/60+16/3600≈4.187778

Almagest中的“弦表”相当于给出了0-90°的每隔15′的正弦值

那这与解Rt△ABC有什么关系呢?我们再次回到图一,ch( 4°)≈4.187778,相当于在直径|AB|=120的圆中,圆周角2α=4°所对弦长|BC|≈4.187778. 到这里,估计大家也发现了,这不就是我们学习的“正弦”的变形吗? ch(4°)与sin(2°)的关系如下

图一 右图α=2°

有了Hipparchus

的“弦表”,我们能轻松解决前文提出的问题:

在RT△ABC中,已知A=3°,c=60,求a的值。

根据“弦表”,ch(6°)=6;16.49≈6.28027778,则

解决了直角三角形问题,那如果是锐角、钝角三角形又如何根据“弦表”求边长呢?

Hipparchus有一个漂亮的想法——

通过作高线可以转换为直角三角形,然后

查表

计算。如图二,如果已知∠A及边a、c,解边b的步骤如下:

1. 作BG⊥AC,根据∠A计算出∠ABG,查“弦表”,并计算|AG|

2. 勾股定理计算|BG|.勾股定理得|CG|。

3. 因此b=|AG|+|CG|

图二 锐角和钝角三角形的情形

太漂亮了!利用“弦表”并结合“勾股定理”,Hipparchus能很顺利的解三角形的边或角,也即球面三角形中弧与弦的转换,而这其中扮演重要角色的就是“正弦”。Hipparchus的“弦表”让一门全新的学科——“三角学”诞生了,所以后世将Hipparchus称为“三角学之父”。

根据上面的叙述我们知道,Almagest中的“弦表”建立在“圆”的基础上,描述了2α°

弧BC

与其对应

弦长|BC|

的关系。到了公元5世纪,印度数学家

阿耶波多

意识到实际应用中只需要考虑

弧BC

对应的

半弦长|BD|

阿耶波多

是迄今所知最早的印度数学家,著有《阿耶波多文集》,由于他对科学的巨大贡献,1976年,印度将其第一颗人造卫星命名为“阿耶波多人造卫星”。

在三角学上,āryabha?a将圆周等分为360*60=21600等分,根据周长21600=2πR,取R≈3438。据此得到α=3°45′时,|BD|的值为225。用符号表示:jya=225。

因为sinα=jyaα/3438,取R≈3438,这里的|BD|类似于中学课本中的角α的

“正弦线”

,从“弦长|BC|”到“半弦长|BD|”,āryabha?a离现代意义下的“

正弦

”概念只差一步,而这一步属于10世纪的阿拉伯数学家艾布*瓦法。

Wafa对“正弦表”作了一个深刻的改进,在āryabha?a“半弦”的基础上,Wafa不再使用“半弦”来作表,而是使用了“半弦”与半径的比值|BD|/|BO|,这正是α°在现代意义上的“正弦值”。除了对概念的改进以外,wafa得到的“正弦值”精度也着实厉害,以sin30′为例,wafa计算得到60进制下的值为31;24;55;54;55,转化为十进制是0.008726536673.这与sin30′的精确值相比要直到小数点后9位才有出入。

但是,Wafa的“正弦表”依然建立在“圆”的基础上,这里的角度α°依旧是指α°弧。到此,“正弦函数”基本成型,但是依旧是存在于“天文学”著作中,数学家们的下一步工作是将“正弦表”变得更加精确,并让以“正弦函数”为代表的“三角学”从“天文学”中解放出来。

13世纪,阿拉伯数学家纳西尔.丁(Nasir ad-Din, 1201-1274)的两部数学著作——《横截线原理》和《论四边形》,内容尽管很平常,但是它仍值得我们记住,因为它们最早把“三角学”作为独立的学科进行论述,使“三角学”脱离了“天文学”。自此以后,三角学在韦达等著名数学家的大力推广下,得到了前所未有的发展,其中包括大量的三角函数公式的发现与证明,以及17世纪以后的“多元发展”、20世纪的概念归一统,这里摘取部分重要节点。

.16世纪以前,“正弦函数”都是在“圆”内讨论的,哥白尼的得意门生——

奥地利数学家

雷提库斯的《三角学准则》改变了这一格局,将正弦函数的定义直接建立在“直角三角形”上,即sinα=对边/斜边。这是我们在中学时候学习的定义。但遗憾的是,17、18世纪的数学家并没有关注他的定义方式,而是继续使用“圆”内的线段来表示“正弦”.

.18世纪,英国著名数学家威尔森将角度从锐角推广到钝角、辛普森开始考虑钝角所对三角函数的正负问题.

.18世纪,欧拉在《无穷小分析引论》中首次用

单位圆

来定义“正弦函数”

.19世纪,“正弦函数”的定义呈现多元化态势,角度被推广到任意角。到了20世纪,基于直角坐标的

“终边定义法”

在多种定义中脱颖而出,“几何线段”定义则被人们遗弃.也正因为如此,数学家们开始更多的关注“正弦函数”的图像与性质.

附录【1】.《古今数学思想1》(M·克莱因).上海科学技术出版社.2009

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